Страница не найдена | Московский Экономический Журнал
Sorry — that page can’t be found. You can view the most recent articles below or try a search:
Найти:Posted by redaktor
Информационная группа ComNews приглашает принять участие в масштабном отраслевом мероприятии – IV Федеральном ИТ-форуме агропромышленного комплекса России — «Smart Agro: Цифровая трансформация в сельском хозяйстве». Дата проведения: 27 октября 2022 г. Место проведения: Отель «Хилтон Гарден Инн Москва Красносельская», ул. Верхняя Красносельская, д.11а стр. 4, Москва Сайт форума: https://www.comnews-conferences.ru/ru/conference/smartagro2022 Мероприятие предусматривает возможность онлайн-участия. Трансляция для […]
PDF-файл статьи Научная статья Original article УДК 519.
237.5 doi: 10.55186/2413046X_2023_8_4_157 РОЛЬ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА В ПРОГНОЗИРОВАНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ КОМПАНИЙ THE ROLE OF REGRESSION ANALYSIS IN FORECASTING THE ECONOMIC INDICATORS OF COMPANIES Пронина Елена Владиславовна, к.ф.-м.н, доцент, доцент кафедры Высшей Математики и Программирования, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МИРЭА – Российский технологический университет» Пихтилькова […]
Posted by redaktor
PDF-файл статьи Научная статья Original article УДК 334 doi: 10.55186/2413046X_2023_8_4_156 ТЕСТИРОВАНИЕ ЦИФРОВОГО ПРОТОТИПА ПОДДЕРЖКИ ПРОЕКТОВ И УЧАСТНИКОВ В АКСЕЛЕРАЦИОННОЙ ПРОГРАММЕ TESTING A DIGITAL PROTOTYPE TO SUPPORT PROJECTS AND PARTICIPANTS IN THE ACCELERATION PROGRAM Работа выполнена в рамках научного проекта РУДН № 201377-0-000 «Разработка прототипа цифровой платформы для взаимодействия и обмена данными в молодежной предпринимательской среде» […]
Posted by redaktor
PDF-файл статьи Научная статья Original article УДК: 336.
027 doi: 10.55186/2413046X_2023_8_4_155 О ПРОГРАММЕ РЕНОВАЦИИ ЖИЛЬЯ В РОССИИ ABOUT HOUSING RENOVATION PROGRAM IN RUSSIA Никитенко Светлана Николаевна, аспирант, Аккредитованное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово-юридический университет МФЮА», E-mail: [email protected] Nikitenko Svetlana Nikolaevna, postgraduate student of the accredited private educational institution of higher education «Moscow Financial and […]
Posted by redaktor
PDF-файл статьи Научная статья Original article УДК 339.924 doi: 10.55186/2413046X_2023_8_4_154 ФОРМИРОВАНИЕ ЕДИНОГО РЫНКА ТОВАРОВ В СИБИРСКОМ ФЕДЕРАЛЬНОМ ОКРУГЕ КАК ФАКТОР РЕГИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ FORMATION OF A SINGLE MARKET OF GOODS IN THE SIBERIAN FEDERAL DISTRICT AS A FACTOR OF REGIONAL DEVELOPMENT Балабанов Владислав Константинович, аспирант, 2 курс, экономический факультет, Алтайский государственный университет, г.
Барнаул, E-mail: [email protected] […]
PDF-файл статьи Научная статья Original article УДК 332.1:330.341 doi: 10.55186/2413046X_2023_8_4_153 ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПОДДЕРЖКИ РАЗВИТИЯ РЫБОХОЗЯЙСТВЕННОГО КОМПЛЕКСА FINANCIAL INSTRUMENTS OF STATE SUPPORT FOR THE DEVELOPMENT OF THE FISHERIES SECTOR Черникова Светлана Александровна, к.э.н., доцент, заведующий кафедрой менеджмента ФГБОУ ВО Пермский государственный аграрно-технологический университет им. академика Д. Н. Прянишникова, г. Пермь, Россия, старший научный сотрудник, Институт […]
Posted by redaktor
PDF-файл статьи Научная статья Original article УДК 338.
Сравнительная характеристика динамических показателей эффективности инвестиционных проектов
Полтева Татьяна Владимировна
Тольяттинский государственный университет
старший преподаватель кафедры «Финансы и кредит»
Аннотация
В статье проведён анализ динамических методов оценки эффективности инвестиционных проектов. Представлена подробная характеристика основных динамических показателей и методы их расчёта, выделены их особенности, преимущества и недостатки. Рассмотрены возможности применения данных показателей при оценке инвестиционных проектов.
Ключевые слова: ВНД, внутренняя норма доходности, динамические методы, дисконтированный период окупаемости, ИД, инвестиционный проект, индекс доходности, ЧДД, чистый дисконтированный доход, эффективность
Polteva Tatiana Vladimirovna
Togliatti State University
assistant professor of the chair «Finance and Credit»
Abstract
In article the analysis of dynamic evaluation methods of efficiency of investment projects is carried out. The detailed characteristic of the main dynamic indicators and methods of their calculation is provided, features, benefits and shortcomings are marked out them. The possibilities of application of these indicators in case of assessment of investment projects are considered.
Keywords: discounted pay-back period, DPP, dynamic methods, efficiency, Internal rate of return, IRR, Net present value, NPV, Pi, profitability index, the investment project
Библиографическая ссылка на статью:
Полтева Т.
В. Сравнительная характеристика динамических показателей эффективности инвестиционных проектов // Современные научные исследования и инновации. 2016. № 12 [Электронный ресурс]. URL: https://web.snauka.ru/issues/2016/12/76252 (дата обращения: 04.04.2023).
В системе управления реальными инвестициями предприятия одним из самых ответственных и важных этапов выступает оценка эффективности инвестиционных проектов. От правильности и объективности этой оценки зависят и сроки возврата инвестированного капитала, и способы альтернативного использования капитала, и дополнительно генерируемый денежный поток в предстоящем периоде.
Методы оценки эффективности инвестиционных проектов подразделяются на два типа: простые, или статические, методы и динамические методы, основанные на дисконтировании.
Статические методы не учитывают стоимость денег во времени. Их применяют для оценки эффективности небольших краткосрочных реальных инвестиционных проектов.
Динамические методы стандартизированы на международном уровне и применяются широко с использованием компьютерных технологий.
Динамические методы более надежные, они основаны на концепции стоимости денег во времени и сегодня являются преобладающими. Динамические методы основаны на дисконтировании будущих денежных потоков по формуле сложного процента с использованием определенной ставки, которая носит название ставка дисконтирования.
Ставкой дисконтирования называют обычно ежегодную ставку, которая отражает уровень доходности, которую хотел бы получить инвестор от использования вложенного капитала, с учетом уровня риска, присущего проекту. Иначе говоря, это норма доходности проводимой операции, которая компенсирует инвестору временный отказ от альтернативного использования средств, а также риски, связанные с неопределенностью конечного результата. Прежде чем рассчитывать эффективность инвестиционного проекта, инвестору необходимо определить ставку дисконтирования, необходимую для проведения расчетов, то есть ту норму доходности, которую инвестор ожидает от проекта. Это наиважнейший фактор, влияющий на результаты расчета эффективности проекта.
В зависимости от различных экономических задач ставка дисконтирования рассчитывается по-разному. Существует несколько методов определения ставки дисконтирования, в большинстве методов ставка дисконтирования включает в себя безрисковую ставку и премию за риск проекта. Чем выше риск проекта, тем выше должна быть ставка дисконтирования.
Итак, к динамическим методам экономической оценки инвестиций относят:
— расчет чистого дисконтированного дохода – NPV;
— расчет индекса доходности – PI;
— расчет внутренней нормы доходности – IRR;
— расчет дисконтированного периода окупаемости – DPP.
Это четыре основных показателя, которые рассчитываются для оценки эффективности инвестиционного проекта. Рассмотрим каждый из показателей более подробно, изучим методику их расчета и способы интерпретации.
Первый показатель – это чистый дисконтированный доход, по-другому его называют чистый приведённый доход, общепринятое обозначение – NPV (Net Present Value).
Чистый дисконтированный доход – это сумма всех положительных и отрицательных дисконтированных денежных потоков проекта. Другими словами, это сумма всех дисконтированных чистых денежных потоков, то есть доходов, за вычетом суммы дисконтированных инвестиций.
Для того чтобы определить чистый дисконтированный доход, необходимо выполнить ряд действий:
— Первое действие – определить сумму инвестиционных вложений в проект. Если инвестиции не единоразовые, то следует продисконтировать инвестиции за каждый период и найти сумму дисконтированных инвестиций.
— Второе действие – произвести расчет текущей стоимости денежных поступлений от проекта. Для этого доходы за каждый период приводятся к текущему моменту времени, то есть дисконтируются (находится PV).
— Третье действие – вычесть из текущей стоимости доходов дисконтированные инвестиционные затраты по проекту. Разница между ними и будет величиной чистого дисконтированного дохода.
Формула для расчета данного показателя представлена ниже.
(1)
где I – инвестиции за i-й период,
P – доход за i-й период,
N – число периодов,
r – ставка дисконтирования.
Для того чтобы проект оказался эффективным, то есть принес как минимум доходность, заложенную в ставке дисконтирования, необходимо, чтобы сумма дисконтированных под эту ставку доходов превысила сумму дисконтированных инвестиций. Поэтому проект будет эффективен, если чистый дисконтированный доход окажется больше нуля. В этом случае проект принесет как минимум ожидаемую доходность, заложенную в ставке дисконтирования. Если чистый дисконтированный доход окажется меньше нуля, то проект необходимо отклонить. Это не означает, что он не принесет никакой доходности. Вполне возможно, проект принесет определенную доходность. Однако она окажется ниже, чем та, которую мы ожидаем и заложили в ставке дисконтирования. И наконец, если чистый дисконтированный доход окажется равным нулю, это будет означать, что реальная доходность проекта, или внутренняя норма доходности, равна той доходности, что мы заложили в ставку дисконтирования.
И нам безразлично, принимать проект или нет. Окончательное решение будет зависеть от того, что именно было заложено в ставку дисконтирования.
Расчет чистого дисконтированного дохода инвестиционного проекта – это один из самых простых этапов в оценке проекта. Намного сложнее определить ожидаемые потоки денежных средств от проекта.
Когда мы проводим сравнительную оценку инвестиционных проектов, важно обратить внимание на особенности показателя чистого дисконтированного дохода. Выделим четыре особенности.
1. Чем больший размер инвестиционных затрат в проект и, соответственно, поступлений от проекта, тем большей будет величина NPV при прочих равных условиях, так как показатель чистого дисконтированного дохода является абсолютным.
2. Величина NPV зависит от распределения инвестиционных затрат во времени. Так, если инвестиционные затраты осуществляются только вначале, показатель чистого дисконтированного дохода будет минимальным. Если же инвестиционные затраты распределены во времени, например, предприятие приобрело оборудование в беспроцентную рассрочку, то тогда показатель NPV будет больше.
Это связано с тем, что сумма дисконтированных инвестиций будет меньше, а следовательно, показатель чистого дисконтированного дохода – больше.
3. На величину NPV влияет время начала эксплуатационной фазы, когда по проекту начинает поступать приток денежных средств. Так, чем дольше времени проходит от осуществления инвестиционных затрат до начала поступлений по проекту, тем меньшей будет величина чистого дисконтированного дохода при прочих равных условиях. И наоборот. Это связано с тем, что величина инвестиционных затрат за короткий промежуток времени изменится незначительно, так как будет приводиться к сегодняшнему времени под меньшую степень. В то время как величина дохода, поступившего от проекта через несколько лет, будет дисконтироваться уже под большую степень и уменьшится значительно.
4. Значение показателя NPV напрямую зависит от ставки дисконтирования. Очевидно, что чем больше ставка дисконтирования, тем большую доходность от проекта мы ожидаем и тем меньшим будет показатель чистого дисконтированного дохода.
Важно при выборе инвестиционного проекта не только сравнивать значения NPV, важен и характер изменения NPV при различных значениях ставки дисконтирования.
Показатель чистого дисконтированного дохода является ключевым в оценке инвестиционной привлекательности проекта в сравнении с его аналогами.
Предположим, мы произвели расчет по двум независимым ординарным инвестиционным проектам, то есть состоящим из исходной инвестиции и последующих притоков денежных средств. Получили следующие значения чистого дисконтированного дохода: у первого проекта NPV оказался равным 1 000 денежных единиц, у второго проекта – 100 денежным единицам.
Как определить, какой из проектов более эффективен? Тот, у кого значение чистого дисконтированного дохода выше? Да, если величина исходных инвестиций была одинаковой для обоих проектов. Сравнительная оценка альтернативных инвестиционных проектов по показателю NPV может дать объективный результат только при их сопоставимых исходных параметрах.
Если представить, что инвестиции в первый проект, NPV которого 1000, составили 1 000 000 денежных единиц, при этом инвестиции во второй проект, NPV которого 100 , составили 500 денежных единиц, тогда становится очевидно, что второй проект в данном случае более рентабелен, так как если рассматривать доход на единицу затрат, то у второго проекта он окажется гораздо выше.
Таким образом, при сравнении эффективности нескольких проектов с различной величиной инвестиционных затрат расчет показателя чистого дисконтированного дохода оказывается недостаточным. Это связано с тем, что NPV является абсолютной величиной.
Для сравнения эффективности проектов с различной величиной инвестиций дополнительно рассчитывают индекс доходности, который является относительной величиной. Рассмотрим данный показатель более подробно.
Итак, индекс доходности, или индекс рентабельности – PI (Profitability Index) – это показатель, который рассчитывается как отношение суммы дисконтированных положительных денежных потоков к сумме дисконтированных инвестиций.
Формула для расчета индекса доходности представлена ниже.
(2)
PI характеризует величину доходов на каждый вложенный рубль с учетом выбранной ставки дисконтирования. То есть характеризует доход проекта на единицу затрат сверх выбранной ставки дисконтирования.
Очевидно, что для того, чтобы проект оказался эффективным, числитель должен превышать знаменатель, а значит, показатель PI должен быть больше единицы.
Тогда проект принесет тот минимум, который заложен в ставке дисконтирования. Если PI окажется меньше единицы, то проект следует отклонить, так как он не принесет ожидаемой нормы доходности. Если данный показатель будет равен единице, то внутренняя норма доходности проекта, то есть его настоящая доходность, равна той ставке, под которую мы дисконтировали денежные потоки.
Следует обратить внимание, что показатели чистого дисконтированного дохода и индекса доходности взаимосвязаны. Так, если NPV больше нуля, то PI в любом случае будет больше единицы, так как и в том и в другом случае сумма дисконтированных доходов будет превышать сумму дисконтированных инвестиций. Если чистый дисконтированный доход меньше нуля, то индекс доходности меньше единицы. Если NPV равен нулю, значит сумма дисконтированных доходов равна сумме дисконтированных инвестиций, а значит и PI будет равен единице. Если данная закономерность не соблюдается, значит нужно искать ошибки в расчетах.
Анализируя показатель «индекс доходности», необходимо иметь в виду, что в его основе лежат те же особенности и исходные предпосылки, что и в основе показателя чистого дисконтированного дохода.
А значит, на его величину влияют также такие факторы, как распределение инвестиционных затрат во времени, время начала эксплуатационной фазы, величина ставки дисконтирования.
Однако у индекса рентабельности есть одно преимущество, связанное с тем, что он является величиной относительной. А значит, на его размер не оказывает влияния масштаб инвестиционного проекта. Он показывает именно отношение суммы дисконтированных доходов к сумме дисконтированных инвестиций, то есть характеризует доход на единицу затрат. Это преимущество показателя позволяет использовать PI для сравнения эффективности инвестиционных проектов, объем инвестиционных затрат которых различен. Показатель индекса рентабельности очень важен, и именно он используется для формирования портфеля реальных инвестиций в условиях ограниченности инвестиционных ресурсов, когда инвестиционные проекты делимы.
Далее рассмотрим третий показатель – внутреннюю норму доходности, или внутреннюю ставку доходности – IRR (Internal Rate of Return).
По сути, это та доходность, которую приносит проект. Поэтому IRR – это ставка дисконтирования, при которой сумма приведённых доходов равна сумме приведённых инвестиций. То есть это ставка дисконтирования, при которой чистый дисконтированный доход NPV равен нулю, а индекс доходности PI равен единице.
Прямой математической формулы, которая позволяла бы определить показатель IRR, не существует. Для расчёта IRR формулу для расчета чистого дисконтированного дохода приравнивают к нулю, при этом IRR закладывают в качестве ставки дисконтирования. Внутреннюю норму доходности можно найти, только решив данное уравнение. Несложно предположить, что решение подобного рода уравнения может быть крайне затруднительно. Поэтому для расчета данного показателя используют следующие основные способы:
1. Первый способ – это применение специализированных программ и калькуляторов. Так, для расчета внутренней нормы доходности часто используют программу Microsoft Excel. Следует выбрать «функции» – «финансовые» – «ВСД», затем выделить подряд идущие ячейки, которые характеризуют денежные потоки за последовательные равные интервалы времени, и указать предполагаемую величину IRR.
И программа рассчитает внутреннюю норму доходности проекта. Значение функции вычисляется программой путем итераций и может показывать или нулевое значение, или несколько значений. Так, при нестандартных денежных потоках, то есть в неординарных проектах, есть возможность получить не одно, а несколько значений внутренней нормы доходности. По сути, внутренняя норма доходности может для проекта и не найтись. Применение Excel сводит сложность процесса расчета показателя IRR к минимуму.
2. Второй способ – метод последовательных итераций, то есть последовательных расчетных действий (рисунок 1).
Рисунок 1 – Нахождение IRR методом последовательных итераций
По сути, это расчет методом подбора. Первая итерация предполагает установление приблизительной IRR, которая может привести к тому, что сумма дисконтированных под эту ставку доходов сравняется с суммой дисконтированных под эту ставку инвестиций. Если по результатам первой итерации окажется, что NPV больше нуля, значит была выбрана слишком маленькая величина IRR и на самом деле она выше.
Значит, последующие итерации предполагают использование более высоких значений ставки дисконтирования, пока не будет достигнуто предусмотренное уравнениями равенство. Если же по результатам первой итерации NPV оказался отрицательным, значит была выбрана слишком высокая ставка дисконтирования и показатель IRR на самом деле меньше. Следовательно, последующие итерации предполагают использование более низких значений данного показателя до тех пор, пока не будет выполняться равенство. Конечным результатом всех итераций является нахождение такой ставки дисконтирования, при которой сумма приведённых инвестиций будет равна сумме приведённых затрат. То есть ставка дисконтирования и будет являться искомой IRR.
3. Третий способ – это метод линейной интерполяции. Суть метода линейной интерполяции заключается в следующем. Выбираются две ставки дисконтирования – r1 и r2 –таким образом, чтобы при ставке дисконтирования r1 NPV был положительным, а при r2 – уже отрицательным. Очевидно, что r1 должен быть меньше, чем r2.
Затем значения r1 и r2 подставляются в формулу, представленную ниже.
(3)
Точность вычислений обратно пропорциональна длине интервала от ставки r1 до ставки r2. А наилучшая аппроксимация с использованием табулированных значений достигается в том случае, когда длина интервала минимальна, равна примерно 1 %. То есть r1 и r2 должны быть ближайшими друг к другу значениями коэффициента дисконтирования, однако должно соблюдаться изначальное условие. А именно: при ставке дисконтирования r1 NPV должен быть положительным, а при r2 – отрицательным.
IRR определяет максимально приемлемую ставку дисконта, при которой можно инвестировать средства без каких-либо потерь для собственника. Для определения целесообразности реализации инвестиционного проекта нужно сопоставить IRR с принятой на данном предприятии минимальной нормой прибыли на инвестиции, то есть выбранной ставкой дисконтирования: если IRR больше ожидаемой нормы доходности, то есть ставки дисконтирования, то проект эффективен; если IRR меньше ожидаемой нормы доходности, то есть ставки дисконтирования, то проект неэффективен.
Поэтому если показатель NPV положительный, а PI больше единицы, значит IRR проекта больше, чем ставка дисконтирования. Если показатель NPV отрицательный, а PI меньше единицы, значит IRR проекта либо меньше, чем ставка дисконтирования, либо вовсе отсутствует. Если показатель NPV равен нулю, а PI равен единице, значит IRR проекта равна той ставке, что заложена в качестве ставки дисконтирования.
Показатель IRR позволяет сравнивать эффективность вложения в различные по протяженности инвестиционные проекты, в отличие от показателя NPV. Показатель внутренней нормы доходности применяется для сравнительной оценки не только в рамках рассматриваемых проектов, но также и в более широком аспекте. Например, показатель IRR можно использовать в сравнении с коэффициентом рентабельности операционных активов; коэффициентом рентабельности собственного капитала; доходностью по альтернативным видам инвестирования. На предприятии иногда устанавливается целевой норматив показателя IRR, то есть его минимальное значение.
Поэтому инвестиционные проекты с более низким значением внутренней нормы доходности автоматически отклоняются как неэффективные.
И четвертый показатель, который рассмотрим, – это дисконтированный период окупаемости – DPP (Discounted Pay-Back Period).
Дисконтированный период окупаемости – это период окупаемости, рассчитанный на основе дисконтированных денежных потоков. Показатель DPP может быть использован больше в качестве вспомогательного показателя при оценке эффективности реальных инвестиционных проектов. Также данный показатель может быть использован в качестве одного из вспомогательных критериальных показателей при формировании инвестиционного портфеля предприятия. В данном случае те проекты, которые будут иметь более высокий DPP при равенстве других показателей, будут отвергаться.
Итак, все рассмотренные показатели для оценки эффективности инвестиционных проектов, а именно – NPV, PI, IRR, DPP – находятся в тесной взаимосвязи между собой. Каждый из показателей позволяет раскрыть какую-либо из сторон инвестиционного проекта.
Ввиду этого все эти показатели при оценке эффективности реальных инвестиционных проектов необходимо рассматривать совместно, в комплексе. Если предприятию необходимо выбрать из альтернативных реальных инвестиционных проектов, то ему целесообразно провести соответствующие расчеты по каждому из проектов и занести данные в сравнительную таблицу. Пример сравнительной таблицы представлен ниже (таблица 1).
Таблица 1 – Пример сравнительной таблицы показателей эффективности
Для того чтобы объективно оценить данные по этой таблице, необходимо показатели эффективности по каждому проекту представить в сопоставимых единицах измерения. Ранговая значимость показателей оценки эффективности инвестиционных проектов формируется на регрессионной основе, то есть наименьший ранг – единица – присваивается проекту с наилучшим значением рассматриваемого показателя эффективности. После того как таблица будет заполнена, необходимо оценить и выбрать наиболее подходящий инвестиционный проект.
Сравнительная оценка производится следующим образом:
— во-первых, на основе суммарной ранговой значимости всех показателей: тот проект, у которого сумма рангов оказалась наименьшей, считается лучшим;
— во-вторых, на основе отдельных из рассчитанных показателей, но в том случае, если для предприятия именно эти показатели являются приоритетными.
Количество просмотров публикации: Please wait
Все статьи автора «Полтева Татьяна Владимировна»
Что такое число Пи и как оно появилось?
Науки | Ask The Experts
Steven Bogart, a mathematics instructor at Georgia Perimeter College, answers
By Steven Bogart on
Share on Facebook
Share on Twitter
Поделиться на Reddit
Поделиться на LinkedIn
Поделиться по электронной почте
Печать
Короче говоря, пи, которое записывается греческой буквой p или π, представляет собой отношение длины окружности любого круга к диаметру этого круга. Независимо от размера круга, это отношение всегда будет равно числу пи.
В десятичной форме значение числа пи составляет приблизительно 3,14. Но пи — иррациональное число, а это означает, что его десятичная форма не заканчивается (например, 1/4 = 0,25) и не повторяется (например, 1/6 = 0,166666…). (Только до 18 знаков после запятой число пи равно 3,14159.2653589793238.) Следовательно, полезно иметь стенографию для этого отношения длины окружности к диаметру. Согласно книге Петра Бекмана A History of Pi , греческая буква π была впервые использована для этой цели Уильямом Джонсом в 1706 году, вероятно, как сокращение от периферии, и стала стандартной математической записью примерно 30 лет спустя.
Проведите небольшой эксперимент: с помощью циркуля нарисуйте окружность. Возьмите один кусок веревки и поместите его поверх круга ровно один раз. Теперь выпрямите нить; его длина называется окружностью круга. Измерьте окружность линейкой. Затем измерьте диаметр круга, который представляет собой длину от любой точки круга прямо через его центр до другой точки на противоположной стороне.
(Диаметр равен удвоенному радиусу, длине от любой точки круга до его центра.) Если вы разделите длину окружности круга на диаметр, вы получите примерно 3,14 — независимо от того, какого размера круг вы нарисовали! Больший круг будет иметь большую окружность и больший радиус, но соотношение всегда будет одинаковым. Если бы вы могли точно измерить и разделить, вы бы получили 3,14159.2653589793238… или число пи.
Другими словами, если вы отрежете несколько кусков нити, равной по длине диаметру, вам понадобится чуть больше трех из них, чтобы покрыть окружность круга.
Пи чаще всего используется в некоторых вычислениях, касающихся кругов. Пи относится не только к окружности и диаметру. Удивительно, но он также связывает диаметр или радиус круга с площадью этого круга по формуле: площадь равна пи, умноженному на квадрат радиуса. Кроме того, во многих математических ситуациях число «пи» часто появляется неожиданно. Например, сумма бесконечного ряда
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + .
.. + 1/n2 + … равно π 2 /6
4000 лет. A History of Pi отмечает, что к 2000 г. до н.э. «вавилоняне и египтяне (по крайней мере) знали о существовании и значении константы π», признавая, что каждый круг имеет одинаковое отношение длины окружности к диаметру. И у вавилонян, и у египтян были грубые численные приближения к значению числа пи, а более поздние математики Древней Греции, особенно Архимед, усовершенствовали эти приближения. К началу 20 века было известно около 500 цифр числа пи. Благодаря достижениям в области вычислений, благодаря компьютерам, мы теперь знаем больше, чем первые шесть миллиардов цифр числа пи.
ОБ АВТОРАХ
День Пи века
Информационный бюллетень
Стань умнее. Подпишитесь на нашу новостную е-мэйл рассылку.
Регистрация
Поддержите научную журналистику
Откройте для себя науку, которая изменит мир. Изучите наш цифровой архив с 1845 года, включая статьи более 150 лауреатов Нобелевской премии.
Что такое Пи? | День Пи
~William L. Schaaf, Природа и история числа Пи длины окружности к ее диаметру. Для любого круга расстояние по краю чуть более чем в три раза превышает расстояние поперек.
Ввод π в калькулятор и нажатие ENTER даст результат 3,141592654 не потому, что это значение точное, а потому, что дисплей калькулятора часто ограничен 10 цифрами. Пи на самом деле является иррациональным числом (десятичное число без конца и без повторяющегося шаблона), которое чаще всего аппроксимируется десятичной дробью 3,14 или дробью \(\frac{22}{7}\).
Возникает довольно интересный вопрос: Если число пи — это число диаметров окружности, то как оно может не иметь конца ?
Пи: многолетняя головоломка Пи интересует людей во всем мире уже более 4000 лет.
Многие математики — от известных, таких как Фибоначчи, Ньютон, Лейбниц и Гаусс, до менее известных математических умов — трудились над числом Пи, вычисляли его цифры и применяли его во многих областях математики. Некоторые провели лучшие части своей жизни, вычисляя всего несколько цифр. Вот выборка многих вех в жизни числа Пи. 9{2}\) ≈ 3,16. Самые ранние расчеты числа пи в значительной степени основывались на измерениях.
Архимед, греческий математик, первым применил алгоритмический подход к вычислению числа пи. Он нарисовал многоугольник внутри круга и нарисовал второй многоугольник за пределами круга. Затем он непрерывно добавлял все больше и больше сторон обоих многоугольников, все больше и больше приближаясь к форме круга. Дойдя до 96-сторонних многоугольников, он доказал, что \(\frac{223}{71}\) < pi < \(\frac{22}{7}\).
Со времен Архимеда (около 250 г. до н. э.) и до начала 1600-х годов математики в странах по всему миру использовали методы, подобные методу Архимеда, для оценки числа пи, получая все более эффективные и точные результаты.
В 1630 году австрийский астроном Кристоф Гринбергер вычислил 38 цифр числа пи, используя многоугольники со сторонами 10 40 , что остается лучшим вычислением числа пи с использованием этого многоугольного метода.
В эпоху Возрождения было много разработок и работ над числом пи, включая создание имени пи. До 1647 года у него не было универсального названия или символа. Английский математик Уильям Отред начал называть его пи в своей публикации 9.0080 Clavis Mathematicae , но широкое распространение он получил только после того, как Леонард Эйлер использовал этот символ в 1737 году. Причина принятия именно этой греческой буквы заключается в том, что это первая буква греческого слова периметрос, которое приблизительно переводится как «окружность».
В 1767 году швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт доказал, что число пи иррационально, а в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн доказал, что число пи трансцендентно, что означает, что число π не может быть решением полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами.
Это открытие важно, потому что до этого момента считалось, что можно построить квадрат и круг с одинаковой площадью, известной как «квадрат круга». Доказательство трансцендентности числа пи показало, что это невозможно, и фраза «квадрат круга» теперь используется как метафора для попытки сделать что-то невозможное.
Благодаря современным технологическим достижениям число пи теперь составляет 31 триллион цифр. Однако для выполнения всех вычислений в нашей наблюдаемой Вселенной практически без ошибок необходимы только первые 39 или около того. Хотя каждый раз, когда побит рекорд числа, это новость, теперь мы можем использовать технологии для изучения других аспектов числа Пи. Один пример от братьев Чудновских, пары американских математиков:
«Мы ищем появление некоторых правил, которые будут отличать цифры числа пи от других чисел. Если вы видите русское предложение, занимающее целую страницу, почти без запятой, это определенно Толстой. Если бы кто-нибудь дал вам миллион цифр из какого-то числа пи, смогли бы вы сказать, что это число из числа пи? На самом деле мы не ищем закономерности; мы ищем правила»
Найдите время, чтобы изучить этот уникальный номер.
У него длинная и очень подробная история, которая показывает область математики как живой, дышащий предмет, а не как набор правил и формул.
@mometrixХочешь узнать больше о числе Пи? Посетите PiDay.org! Ссылка в био. ##piday ##pi ##pie ##math ##mathhelp ##mometrix♬ оригинальный звук – Подготовка к тесту MometrixГде встречается число pi?
Пи встречается во многих областях математики, их слишком много, чтобы перечислять здесь.
Изучение числа пи начинается в средней школе, когда учащиеся узнают об окружности и площади кругов.
ОКРУЖНОСТЬ и ПЛОЩАДЬ КРУГОВ Определение пи дает нам способ вычислить окружность . Длина окружности — это расстояние по окружности. Если π = \(\frac{C}{d}\), то C = π d . Вы также можете рассчитать длину окружности с помощью C = 2π r .
9{2}\) ч .
В старших классах учащиеся более углубленно изучают круги, а также изучают тригонометрию единичных кругов.
РАДИАНЫ и ГРАДУСЫУглы можно измерять как в градусах, так и в радианах. Радиан определяется как дуга, имеющая ту же меру, что и радиус окружности. Поскольку π диаметров равны длине окружности, 2π длины радиуса также равны длине окружности. Следовательно, 360 градусов равны 2π радианам, 180 градусов равны π радианам, 90 градусов равно \(\frac{\pi}{2}\) радианам и т. д. длина = \(\theta \frac{C}{2\pi}\). Уравнение для окружности можно подставить, тогда все уравнение можно упростить до: длина дуги = \(\theta \frac{\pi d}{2\pi}=\theta \frac{d}{2}=\ тета р\).
СЕКТОРЫ Площадь сектора, образованного центральным углом θ, является долей площади круга: площадь сектора = \(\theta \frac{A}{2\pi}\). Уравнение для площади можно подставить, тогда все уравнение можно упростить до: площадь сектора = \(\theta \frac{\pi r^{2}}{2\pi}=\theta \frac{r^ {2}}{2}\).
